Matematikai gondolkodás és digitális kompetencia fejlesztése, avagy algoritmusok a Mancalában – Mancala taktika

mancala 1 Rendkívül különleges és ígéretes játékcsalád a gyerekek gondolkodásának fejlesztésében a Mancala. Előző bejegyzésemben nem tértem ki külön a Mancalára, így most ezt a bejegyzést ennek a játéknak szentelem.

Kezdjük a „bantumi” változattal! A játék leírását és a tanításához kapcsolódó kiegészítéseket itt találod.

A Mancala-bantumi elsősorban taktikai játék, mivel a pillanatnyi helyzetek felismerésének és az ezekre adott megfelelő reagálásoknak, válaszlépéseknek van óriási jelentőségük.

Megfogalmazhatunk ugyan alapstratégiát, de felépíteni erre állást nem lehetséges a folytonosan változó táblaképek miatt, ellentétben például a sakkvarikkal, a dámákkal, vagy a góval. A stratégia egy átfogó terv, beleépítve és végrehajtva az esetleges módosításokat, változtatásokat is, a játszma függvényében. Az anyag, tér, idő és szerkezet uralására és egymás közi viszonyára épül.

A Mancalában előre megtervezni több lépést értelmetlen, mert az ellenfél biztosan keresztülhúzza a számításainkat néhány lépésen belül. Az adott állásban kell többnyire megkeresni a lehetséges legjobb lépést. Azonban ez is igényel némi tervszerűséget, előregondolkodást. Figyelembe kell venni a lépésünk nyomán elérhető előnyöket és a jelentkező hátrányokat. Mérlegelni, dönteni szükséges.

Mi számíthat a Mancala-bantumiban előnyösnek, hasznosnak számunkra?

Csattanós választ erre a szabályok ismeretében kaphatunk!

  1. szabály – „ismétlő”

Ha az utolsónak elszórt kövem a gyűjtőmben landolt, akkor megint én következem.

Tehát törekedjünk arra, hogy ez minél többször következzék be! Mikor lehetséges ez? Ezt a későbbiekben megvizsgáljuk…

  1. szabály – „rablási”

Ha az utolsónak elszórt kövem valamelyik saját üres rekeszembe (gödrömbe) került, akkor az ezzel szemben lévő (túlnan) lévő gödör tartalma az enyém. Ez is, meg a rabló kő is a gyűjtőmbe vándorol.

Mire törekedjünk? Minél gyakrabban, minél telibb gödröket raboljunk ki!

  1. szabály – „befejezési”

Valamelyik oldal kiürülésekor vége a játéknak. A másik oldalon maradt kövek az oldal tulajdonosának a gyűjtőjébe kerülnek.

Halmozzunk fel minél több követ a saját oldalunkon a játszma végére!

Ebben a három pontban összefoglalható a stratégia, amelynek megvalósítása nem is lesz olyan egyszerű, mert ott az ellenfél, aki szintén erre törekszik! 🙂

Az eredményesség a tapasztalaton, a számításokon, a következtetéseken, a sémák ismeretén („trükkök”) – mint majd látjuk – alapul.

Ebben a játékban különösen nehéz mérlegre tenni az adott pillanatban elérhető nyereséget és az esetlegesen fellépő veszteséget! A gyerekek is jobbára csak az egyik oldalra – nyereségre – koncentrálnak. Ez is lehet egy szempont, minél több követ rabolni egyetlen lépésben (szórásban).

Az igazán sikeres és rutinos játékosok mind a három fenti szempontot igyekeznek figyelembe venni, megvalósítani, összehangolni. Erősíthetik is ezek egymást a helyesen választott taktika során. Például az 1. szabály megteremtheti a lehetőségét a 2. szabály azonnali alkalmazásának. (Üresen marad a hely, és újra én jövök.) A gödrök kiürítése ráadásul biztos pontokat jelent, hiszen a gyűjtőben lévők már ott is maradnak.

Úgyis eredményesek lehetünk, ha egy-két lépésen belül megteremtjük és észrevesszük a lehetőséget valamelyik szabályt kihasználva.

Működőképes, konkrét példák

A talán leggyakrabban előforduló, 6 rekeszes, rekeszenként 4 kővel rendelkező Mancala táblát vesszük alapul. Elképzelhető, hogy a továbbiak folyamán előnyös lesz számodra egy Mancala készlet, de megteszi egy hirtelenjében felrajzolt tábla is kavicsokkal, gombokkal, vagy kukoricaszemekkel…

Lényeges kérdés először is felvetnünk, hogy melyik rekesznek hány követ kell tartalmaznia ahhoz, hogy alkalmazni lehessen az „ismétlő” szabályt!

Az ábra csak az egyik, a mi oldalunk felől mutatja ezt:

mancala 1

A felső számsor a kézenfekvő és gyakori megoldást mutatja: ahányadik a gödör a gyűjtőmtől, annyi követ kell tartalmaznia. Az alsó számsor pedig azt, amikor egy teljes kört is megteszünk a szórás folyamán, azaz 13-mal nagyobbak a számok. Természetesen további megfelelő számokhoz jutunk, ha 13 (6+6+1) többszöröseivel növeljük a számokat, de ennek csak matematikai jelentősége van, a játékban már ezek nem fordulnak elő.

Elméletileg a 32, 31, 30, 29, 28, 27 és a 45, 44, 43, 42, 41, 40 számsorból még valamelyik igen.

Érdekfeszítő kérdések merülhetnek fel bennünk az „ismétlő” szabály kapcsán. Olyanok, mint:

  • Maximálisan hányszor szórhatunk egymás után? Elméletileg, nyilván.
  • Legfeljebb hány rekeszt lehet teljesen kiüríteni egyetlen szórás-sorozattal?
  • Legtöbb hány követ vihetünk a gyűjtőnkbe egyetlen szórás-sorozattal?

Őszinte leszek: nem vállalkozom most arra, hogy ezekre a kérdésekre kielégítően válaszolok, mert ennek az írásnak nem ez a célja. Arra viszont igen, hogy bemutassak a megoldáshoz vezető gondolkodási utakat, lépéseket, azaz algoritmusokat

Vizsgáljuk meg ezt az „ismétlő” szabályt egy kicsit tüzetesebben!

Négyszer jöhetek én a következő állásban:

mancala 2

Előbb elszórom az 1-et, aztán a 2-őt, majd az 1-et. Aztán még egyet szórhatok – legalább. Fordítva – előbb 2-őt, azután megint 2-őt (1-ből 2 lett) – nem jó, mert akkor 1 kő az ellenfél oldalára kerül.

Ha az előbbi állásban az 1 helyén nincs kő, azaz 0 van, akkor minimum háromszor jövök én a szórással. A szórt kövek száma – sorrendben: 2 – 1 – „valamennyi” a másik négy rekesz valamelyikéből.

Vizsgálódjunk tovább, „gombolyítsuk tovább a fonalat”!

Az egyszerűség és áttekinthetőség kedvéért vezessünk be koordinátákat – itt betűket – a rekeszek egyértelmű jelölésére: a saját rekeszeinkre az A, B, C, D, E, F, a játszótárséra pedig az a, b, c, d, e, f betűket.

Hogyan lehetne a szórások számát megnövelni a fentiekre építve? Melyik rekeszünkben, hány kő legyen, hogy előálljon a nagyon kedvező (2, 1) kavics szám az E és F rekeszünkben az első szórás után?

mancala 3

Mivel ennek az előző szórásunk eredményeképpen kell előállnia, így csökkentsük a kövek számát 1-gyel, 1-gyel! Tehát most visszafelé következtetünk…

mancala 4

Mivel ismételnünk kell, ezért a következő lehetőségek valamelyike állhat fenn – az egyszerűség kedvéért a körbeszórástól most eltekintünk: A-ban 6, B-ben 5, C-ben 4, D-ben 3 kő. Kövessük az eredeti gondolatmenetet, haladjunk a gyűjtőnk felől, jobbról balra. Így a következő álláshoz jutunk:

mancala 5

Könnyen elvégezhető a szórássorozat: D-ből 3-mal indítunk, aztán „ismétlés”. F-ből 1, E-ből 2, végül F-ből 1. És még mindig mi jövünk! 🙂

Mi lenne, ha tovább folytatnánk?

Az előző állást kell elérnünk az első szórás után. Ismét csökkentsük a kavicsok számát rekeszenként 1-gyel!

mancala 6

Hopp! „Légy esett a levesbe!” – mondhatnánk. Matematikai szempontból nincs gond a negatív számokkal, na de hát játékban! Ki látott már -1 követ?

Mi tehát a probléma? A -1 kavics. Ki tudjuk küszöbölni? Igen!

Hogyan?

Észrevehető, hogy az F rekesz különleges jelentőséggel bír abban az értelemben, hogy innen elszórva 7, vagy kevesebb követ, nem szaporítja saját oldalunk rekeszeiben a kövek számát.  Továbbá – és most ez a lényeg – teljesen mindegy, hogy 1, vagy 0 kavicsot tartalmaz, ha mi következünk a lépésben…

Ha 1-et, akkor „megszabadulunk” tőle, elszórjuk, a gyűjtőnkbe kerül, és ami fontos: megint mi következünk! (Itt most csak a vizsgálódásunk szempontjai vezérelnek, természetesen jobb az 1, mint a 0 :)!)

Azaz tökéletesen mindegy, a -1 helyén lehet 0, vagy 1 is. A lényeg, hogy újból növelhető a szórások száma! Ezért két különböző helyzet is megfelelő:

mancala 7

Az első esetben a szórás sorrend a következő: C, F, – innen már ismert, de vigyük végig – D, F, E, F.

A második esetben: F-fel kezdünk, és előáll az előbbi helyzet és megoldás.

Itt az újabb meglepetés! Talán észre is vetted már?

Az F rekeszen kívül csak az E a másik olyan, hogy az összes kavics (2 darab) kiüríthető a hátsó rekeszek (A, B, C, D) „segítsége” nélkül. Például a D-ből szórva 3-at az E-ben marad 1 kő. A C-ből szórva 4-et pedig marad 2 kő, 1 a D-ben és 1 az E-ben.

Na, ezt a felfedezést fogjuk felhasználni a továbblépéshez! Tehát nem kell itt lemenni a mínusztartományba az E-nél! Helyettesítsük a 0-át 2-vel! Így jó lesz mind a két következő állás a kiinduláshoz:

mancala 8

A fentinél a szórás így néz ki: E, F, C, F, D, F, E, F.

Az alsónál pedig így: F, E, F, C, F, D, F, E, F. Tehát F után ugyanaz.

Az eddigiekhez hasonlóan csökkentsük a rekeszenkénti kövek számát 1-gyel!

mancala 9

Így már 5 rekeszes megoldásunk létezik:

mancala 10

Itt lehet F-ben 1 is, mert F-fel kezdve a szórást 0-vá tehető.

B-ből kezdve a szórást az előző – működőképes – álláshoz jutunk:

mancala 11

Nincs megállás, javaslom, folytassuk tovább! Csökkentsük megint 1-gyel minden rekeszben a kövek számát!

mancala 12

Mivel F-ben megint lehetett 1 is, ezért van most itt 0 F-ben.

A következő 6 rekeszes álláshoz érkeztünk:

mancala 13

Szórjuk el A-ból a 6 követ!

mancala 14

Mint korábban többször említettem, 1 lehet az F-ben, mert egyszerűen belerakjuk a gyűjtőnkbe. Ez a Jolly Joker kavicsunk! 🙂

Ezt követően már csak a korábban leírt szóró lépéseket kell megismételnünk.

Összesen 12 kavicsunktól „szabadulunk” meg így, és még mindig mi következnénk – ha maradna még kövünk…

Mikor nem ajánlott ennek a szórássorozatnak a végrehajtása?

Amikor az ellenfélnek a saját oldalán elegendő köve van ahhoz, hogy a 3. „befejezési” szabállyal megnyerje a játékot, azaz összességében véve több kavicsra tegyen szert, mint mi! Ilyenkor érdemes más taktikához, lépésekhez folyamodni.

Mancala taktika – alapok

Mit tegyünk akkor, ha több rekeszben kínálkozik az „ismétlő” szabály?

Az eddigiek alapján nyilvánvaló, hogy mindig a gyűjtőhöz közelebbi rekeszt kell kiüríteni. Ellenkező esetben a közelebbi rekeszben megnő a kövek száma, és így megszűnik a lehetőség a további ismétlésre.

Mindez persze csak alaphelyzet, pusztán az ismétlésre vonatkozik. A taktikát befolyásolhatja a másik két szabály alkalmazása és a körbeérés is.

Érdemes tüzetesebben megnézni az alábbi állást! A cél, minél több kavicsot a gyűjtőnkbe vinni.

mancala 15

Lenyűgözően eredményes szórássorozat a következő: F, E, F, D, F, C, F, E, F, B, F, A, F, E, F, D, F.

17 követ juttattunk a gyűjtőnkbe, 4 maradt a táblán:

mancala 16

Lényeges, hogy a szórássorozatban mindig a gyűjtő felől haladok, balra. Az „ismétlő” szabályt minden egyes helyzetben így alkalmazom. Tehát kezdem a gyűjtőmhöz legközelebbi rekesszel. Látható, hogy a leggyakoribb szórás az F rekeszből történik. Több mint a fele, 9! Ez magától értetődik, hiszen minden egyes szórásnál belekerül 1 kavics az üres F-be, amit rögtön utána a gyűjtőmbe teszek.

Mi jöhet még ezután, ebben az állásban?

A további taktika függ a játszótárs oldalán lévő kövek számától és elhelyezkedésétől is. Például, ha az a rekeszben kavicsok vannak, akkor egy jó lépés lehet E-ből elszórni azt az egy követ F-be, így életbe lép a „rablási” szabály, miénk az a tartalma, ezen kívül gyűjtőnkbe kerül az elszórt kavics is.

Másik lehetőség… Ha kevés kavicsa van ellenfelünknek, és nem tud rabolni E-ből (b üres rekesz!) – például nem 1 köve van a-ban, vagy történetesen f-ben 9 –, akkor jó választás lehet C-ből elszórni a 2 követ.  Nézzük meg miért, de előbb itt az ábra!

mancala 17

Egyrészt üressé válik a C rekesz, ezért a következő lépésben a B-beli 1 kővel támadhatóvá válik a d rekesz!

Másrészt szintén a következő lépésben az E rekesz 2 kövét juttathatjuk az „ismétlő” szabállyal a gyűjtőnkbe. Ezzel egyidejűleg felszabadul – üressé válik – az E rekesz, és még ugyanebben a lépésben – az ismétlés miatt – D-ből áttehetjük a követ E-be. Ez akkor lesz hasznos számunkra, ha a b-ben kövek vannak, mert akkor ezek a gyűjtőnkbe vándorolnak a rabló kövünkkel együtt. („rablási” szabály)

Most látom, hogy az eredendően egy bejegyzésnek szánt témából legalább két bejegyzés lesz. Tehát folytatása következik…

Mire volt jó mindez?

Ezt nyilván neked kell eldöntened, de hadd írjak erről még pár gondolatot…

A mindennapi életben nagyon fontos szerepet töltenek be az algoritmusok. Hétköznapi tevékenységeink folyamán, valaminek a megtervezése, megszervezése során, időnk ütemezésében…

Az algoritmusok felismerése, alkotása és végrehajtása „örök” emberi tevékenység. Gács Péter és Lovász László így írnak erről Algoritmusok (Tankönyvkiadó, 1987) című könyvükben:

„Ha egy elvégzendő cselekvéssorozatot lépésről lépésre előre átgondolunk, megtervezünk, úgy is mondhatjuk, hogy algoritmust adunk egy bizonyos cél elérésére. Egy épület terve, vagy egy ételrecept – ilyen legtágabb értelemben vett algoritmus.”

„Véleményünk azonban az, hogy az emberi szellemi tevékenység lényege nem algoritmusok végrehajtása, hanem algoritmusok alkotása.”

Helyben vagyunk… A Mancalánál és minden más táblásnál maradva úgy gondolom, hogy az már egy magasabb tudásszint, ha valaki képes a fent idézett algoritmusok alkotására. Az előző, a  „Gondolkodási és digitális kompetencia fejlesztése – táblajátékokkal” című írásomban említett sémák (ismert állások) ezt a folyamatot képesek meggyorsítani, ami a mesterszintű játékosok sajátja.

A Mancala-bantumi játék a „millió” egyéb más nevelő és fejlesztő hatásán túl nagyon alkalmas algoritmusok megtervezésére, végrehajtására is. Ennek az írásnak az egyik célja ennek bizonyítása volt.

Az algoritmusokra épülő gondolkodást a diákok nemcsak a hétköznapi tevékenységeik során, hanem a tanulmányaikban is jól hasznosíthatják, különösen a matematikában és az informatikában, de még a nyelvtanulásban is.

A Mancala taktika az algoritmusokra épül. Minél gyakorlottabb egy játékos, annál inkább ismeri és használja ezeket az algoritmusokat. És fordítva is…

Minél jobbá akar válni valaki ebben a játékban – és persze másban is –, annál inkább célszerű elmerülnie a játék algoritmusában. Ezért van értelme a játszmák kielemzésének, megbeszélésének, a lehetőségek feltárásának…

A következő bejegyzésem e témában még a Mancaláról fog szólni: még néhány kiegészítés és az Oware bemutatása következik dióhéjban, az algoritmusok szemszögéből.

Egy nappal később…

Tényleg hasznosak ezek az algoritmusok… Tegnap, e bejegyzés írása közben elmerültem bennük. Máris meglett az eredménye. Ma, a délutáni táblajáték szakkörön csak kőkemény csatában maradtam alul a Mancala-bantumiban (is) az iskola talán legtehetségesebb – 4. osztályos – táblajátékosától. 🙂

Még több témába vágó írás és folyamatosan frissülő tartalom:

 

Tetszett a bejegyzés? Ha igen, oszd meg másokkal is!

Ezt az anyagot bárki felhasználhatja, terjesztheti – egy feltétellel: ha szerzőként feltünteti a nevemet! Mészáros Mihály

3 hozzászólás a(z) “Matematikai gondolkodás és digitális kompetencia fejlesztése, avagy algoritmusok a Mancalában – Mancala taktika” bejegyzéshez

  1. Visszajelzés: Fejlesztő táblajátékok: Mancala-Bantumi 3. | meszaros-mihaly.hu

  2. Visszajelzés: Fejlesztő táblajátékok: Mancala-Bantumi 2. | meszaros-mihaly.hu

  3. Ember, tagoljad, meg használj kiemeléseket meg alcímeket, azért vannak. Nem mindenki autista, hogy minden mindegy legyen… mondjuk ha magadnak csinálod, megteszi így is.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.